Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$

Schritt 1

Setze $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ gleich $0$ .

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.1.3

Setze $- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $- 0.5$ in das Polynom ein.

$2 {(- 0.5)}^{3} - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 0.125$ .

$- 0.25 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Schritt 2.1.3.4

Potenziere $- 0.5$ mit $2$ .

$- 0.25 - 1 \cdot 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.25$ .

$- 0.25 - 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Schritt 2.1.3.6

Subtrahiere $0.25$ von $- 0.25$ .

$- 0.5 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Schritt 2.1.3.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 0.5$ .

$- 0.5 + 4.5 - 4$

Schritt 2.1.3.8

Addiere $- 0.5$ und $4.5$ .

$4 - 4$

Schritt 2.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4}{2 x + 1}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$4$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	-	$4$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x - 4$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x - 4$

Schritt 2.1.6

Schreibe $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - x - 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - x - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Addiere $1$ und $16$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Dezimalform:

$x = - 0.5, 2.56155281 \dots, - 1.56155281 \dots$

Schritt 4