Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2$

Schritt 1

Setze $2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2$ gleich $0$ .

$2 x^{4} + 5 x^{3} - 5 x - 2 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$2 x^{4} - 2 + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4} - 2$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$2 (x^{4}) - 2 + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (x^{4}) + 2 (- 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{4}) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (x^{4} - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.6.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x^{3} - 5 x = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{3} - 5 x$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2}) - 5 x = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $5 x$ aus $- 5 x$ heraus.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2}) + 5 x (- 1) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{2}) + 5 x (- 1)$ heraus.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.9.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 5 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.10.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + 5 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $5 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (5 x) = 0$

Schritt 2.1.10.3

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1)) + (x + 1) (x - 1) (5 x)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) + 5 x) = 0$

Schritt 2.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 2 \cdot 1 + 5 x) = 0$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 2 + 5 x) = 0$

Schritt 2.1.13

Stelle die Terme um.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.14.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.14.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 2.1.14.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 5 (x) + 2) = 0$

Schritt 2.1.14.1.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + (1 + 4) x + 2) = 0$

Schritt 2.1.14.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.14.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + x + 4 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.14.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.14.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + x) + 4 x + 2) = 0$

Schritt 2.1.14.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (x - 1) (x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.14.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x + 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) (2 x + 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, - \frac{1}{2}, - 2$

Schritt 3