Analysis Beispiele

$x^{4} + 2 x^{2} - 63 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} + 2 u - 63 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} + 2 u - 63$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 63$ und deren Summe $2$ ist.

$- 7, 9$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 7) (u + 9) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 7 = 0$

$u + 9 = 0$

Schritt 4

Setze $u - 7$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u - 7$ gleich $0$ .

$u - 7 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 7$

Schritt 5

Setze $u + 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u + 9$ gleich $0$ .

$u + 9 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 9$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 7) (u + 9) = 0$ wahr machen.

$u = 7, - 9$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 7$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 7$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 9.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7}$

Schritt 9.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 9.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 9$

Schritt 11.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 11.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 11.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 11.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 12

Die Lösung von $x^{4} + 2 x^{2} - 63 = 0$ ist $x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 3 i, - 3 i$ .

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 3 i, - 3 i$

Schritt 13