Analysis Beispiele

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

Schritt 1

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung von $y$ nach $x$ gleich der Ableitung von $y$ nach $u$ multipliziert mit der Ableitung von $u$ nach $x$ ist.

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{d y}{d u}$ .

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} + 1$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$2 u + 0$

Schritt 2.4

Addiere $2 u$ und $0$ .

$2 u$

Schritt 3

Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{d y}{d u}$ mit $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

Schritt 6

Setze den Wert von $u$ in die Ableitung $6 u$ ein.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

Schritt 7

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

Schritt 7.2

Multipliziere.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$