Analysis Beispiele

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ um.

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$

Schritt 2

Setze $y$ gleich $0$ .

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 3.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

Schritt 3.1.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.1.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Schritt 3.1.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Schritt 3.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Schritt 3.1.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - 7 \cdot 1 - 1 + 10$

Schritt 3.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 2 - 7 - 1 + 10$

Schritt 3.1.1.3.6

Subtrahiere $7$ von $- 2$ .

$- 9 - 1 + 10$

Schritt 3.1.1.3.7

Subtrahiere $1$ von $- 9$ .

$- 10 + 10$

Schritt 3.1.1.3.8

Addiere $- 10$ und $10$ .

$0$

Schritt 3.1.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10}{x + 1}$

Schritt 3.1.1.5

Dividiere $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ durch $x + 1$ .

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Schritt 3.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$10$

Schritt 3.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$

Schritt 3.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 3.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 3.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Schritt 3.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Schritt 3.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Schritt 3.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Schritt 3.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 x^{2} - 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 3.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$

Schritt 3.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Schritt 3.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Schritt 3.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

Schritt 3.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x + 10$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

Schritt 3.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

Schritt 3.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 9 x + 10$

Schritt 3.1.1.6

Schreibe $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 10 = 20$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Schreibe $- 9$ um als $- 4$ plus $- 5$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 4 - 5) x + 10) = 0$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) = 0$

Schritt 3.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 4 x) - 5 x + 10) = 0$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x + 1) (2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) = 0$

Schritt 3.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2$ .

$(x + 1) ((x - 2) (2 x - 5)) = 0$

Schritt 3.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Schritt 3.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.5

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 2, \frac{5}{2}$

Schritt 4