Analysis Beispiele

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

Schritt 1

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung von $y$ nach $x$ gleich der Ableitung von $y$ nach $u$ multipliziert mit der Ableitung von $u$ nach $x$ ist.

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{d y}{d u}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{d y}{d u}$ mit $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Setze den Wert von $u$ in die Ableitung $9 u^{\frac{1}{2}}$ ein.

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$