Analysis Beispiele

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

Schritt 1

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung von $y$ nach $x$ gleich der Ableitung von $y$ nach $u$ multipliziert mit der Ableitung von $u$ nach $x$ ist.

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{d y}{d u}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = u + 1$ und $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u + 1$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $u$ von $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $1 \cdot 1$ von $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{u^{2}}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{d y}{d u}$ mit $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

Schritt 5.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

Schritt 6

Setze den Wert von $u$ in die Ableitung $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ ein.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{3}$ an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Schritt 7.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 7.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

Schritt 7.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{6}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Schritt 7.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Schritt 7.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{6}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$