Analysis Beispiele

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

Schritt 1

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung von $y$ nach $x$ gleich der Ableitung von $y$ nach $u$ multipliziert mit der Ableitung von $u$ nach $x$ ist.

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{d y}{d u}$ .

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{2} + u - 2$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

Schritt 2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$2 u + 1 + 0$

Schritt 2.5

Addiere $2 u + 1$ und $0$ .

$2 u + 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{d y}{d u}$ mit $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ .

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Schritt 5.2

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ .

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{- 2}{x^{2}}$ und $u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6

Setze den Wert von $u$ in die Ableitung $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ ein.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.3

Kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.4

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 7.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$