Analysis Beispiele

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

Schritt 1

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung von $w$ nach $t$ gleich der Ableitung von $w$ nach $u$ multipliziert mit der Ableitung von $u$ nach $t$ ist.

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t - 1$ und $g (t) = t + 1$ .

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $t + 1$ mit $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $t + 1 - t - - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{d w}{d u}$ mit $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ und $u^{2}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Setze den Wert von $u$ in die Ableitung $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ ein.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende die Produktregel auf $\frac{t - 1}{t + 1}$ an.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Kombiniere $6$ und $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 7.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 7.4

Kombinieren.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

Schritt 7.5

Multipliziere ${(t + 1)}^{2}$ mit ${(t + 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

Schritt 7.5.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $6 {(t - 1)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$