Analysis Beispiele

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ gleich $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ist mit $f (z) = 2 x$ und $g (z) = z^{2} - y^{2}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $z^{2} - y^{2}$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- y^{2}$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $2 z$ und $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $z^{2}$ mit $0$ .

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $- y^{2} \cdot 0$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $y^{2}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 - 4 x z$ .

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $4 x z$ von $0$ .

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = z$ und $b = y$ .

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende die Produktregel auf $(z + y) (z - y)$ an.

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$