Analysis Beispiele

$\frac{4 y}{x + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 4 y$ und $g (y) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [4 y] - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + 2) (4 \frac{d}{d y} [y]) - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (4 \cdot 1) - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (0 + \frac{d}{d y} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y (0 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 4 + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 \cdot x + 2 \cdot 4 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 1 \cdot 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 4 y \cdot 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $- 4 y \cdot 0$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$\frac{4 x + 8 + 0 y}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$\frac{4 x + 8 + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Addiere $4 x + 8$ und $0$ .

$\frac{4 x + 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 8$ heraus.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{4 (x) + 8}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 x + 4 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 2$ heraus.

$\frac{4 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $4 (x + 2)$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus ${(x + 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{(x + 2) (x + 2)}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) \cdot 4}{(x + 2) (x + 2)}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{x + 2}$