Analysis Beispiele

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ gleich $n A^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $2000$ konstant bezüglich $A$ ist, ist die Ableitung von $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ nach $A$ gleich $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ .

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ ist $f' (g (A)) g' (A)$ , mit $f (A) = A^{60}$ und $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 60$ .

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $60$ mit $2000$ .

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \frac{r}{12}$ nach $A$ $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $A$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $A$ gleich $0$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Schritt 3.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

Schritt 3.3.5

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $A$ ist, ist die Ableitung von $\frac{r}{12}$ nach $A$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

Schritt 3.3.6

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $120000$ .

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Schritt 3.3.6.2

Kombiniere $\frac{120000}{12}$ und ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Schritt 3.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120000$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.3.1

Faktorisiere $12$ aus $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ heraus.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Schritt 3.3.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.3.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

Schritt 3.3.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

Schritt 3.3.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

Schritt 3.3.6.3.2.4

Dividiere $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ durch $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d A} [r]$ als $r'$ um.

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Schritt 5

Löse nach $r'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ um.

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ durch $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ durch $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $r'$ durch $1$ .

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{12 + r}{12}$ an.

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $10000$ und $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ .

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ mit $1$ .

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Schritt 6

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d A}$ .

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$