Analysis Beispiele

$R = 5 \tan^{2} (3 π t)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (R) = \frac{d}{d t} (5 \tan^{2} (3 π t))$

Schritt 2

Die Ableitung von $R$ nach $t$ ist $R'$ .

$R'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 \tan^{2} (3 π t)$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\tan^{2} (3 π t)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \tan (3 π t)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (3 π t)$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (3 π t)$ .

$5 (2 \tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 (\tan (3 π t) \frac{d}{d t} [\tan (3 π t)])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \tan (t)$ und $g (t) = 3 π t$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 π t])$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 π t$ .

$10 \tan (3 π t) (\sec^{2} (3 π t) \frac{d}{d t} [3 π t])$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Da $3 π$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 π t$ nach $t$ gleich $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (3 π \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) (π \cdot 1)$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$

Schritt 3.5.4.2

Stelle die Faktoren von $30 \tan (3 π t) \sec^{2} (3 π t) π$ um.

$30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$R' = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$

Schritt 5

Ersetze $R'$ durch $\frac{d R}{d t}$ .

$\frac{d R}{d t} = 30 π \sec^{2} (3 π t) \tan (3 π t)$