Analysis Beispiele

$p = \frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (p) = \frac{d}{d r} (\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $p$ nach $r$ ist $p'$ .

$p'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $144$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$ nach $r$ gleich $144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$ .

$144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ gleich $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ist mit $f (r) = r$ und $g (r) = {(r + 0.6)}^{2}$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{({(r + 0.6)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(r + 0.6)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere ${(r + 0.6)}^{2}$ mit $1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{2}$ und $g (r) = r + 0.6$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r + 0.6$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 u \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $r + 0.6$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $r + 0.6$ aus ${(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $r + 0.6$ aus ${(r + 0.6)}^{2}$ heraus.

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) - 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $r + 0.6$ aus $- 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]$ heraus.

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $r + 0.6$ aus $(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ heraus.

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $r + 0.6$ aus ${(r + 0.6)}^{4}$ heraus.

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $r + 0.6$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6]$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.9

Da $0.6$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $0.6$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + 0)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \cdot 1}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.10.3

Subtrahiere $2 r$ von $r$ .

$144 \frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.10.4

Kombiniere $144$ und $\frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$ .

$\frac{144 (- r + 0.6)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{144 (- r) + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$\frac{- 144 r + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.2.2

Mutltipliziere $144$ mit $0.6$ .

$\frac{- 144 r + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.3

Faktorisiere $28.8$ aus $- 144 r + 86.4$ heraus.

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Schritt 3.11.3.1

Faktorisiere $28.8$ aus $- 144 r$ heraus.

$\frac{28.8 (- 5 r) + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.3.2

Faktorisiere $28.8$ aus $86.4$ heraus.

$\frac{28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.3.3

Faktorisiere $28.8$ aus $28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)$ heraus.

$\frac{28.8 (- 5 r + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 r$ heraus.

$\frac{28.8 (- (5 r) + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.5

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{28.8 (- (5 r) - 1 (- 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 r) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{28.8 (- (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.7

Schreibe $- (5 r - 3)$ als $- 1 (5 r - 3)$ um.

$\frac{28.8 (- 1 (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 3.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$p' = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d r}$ .

$\frac{d p}{d r} = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$