Analysis Beispiele

$P = \frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $P$ nach $r$ ist $P'$ .

$P'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $B^{3}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$ nach $r$ gleich $B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$ .

$B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ gleich $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ist mit $f (r) = r$ und $g (r) = R^{2} + R r + r^{2}$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $R^{2} + R r + r^{2}$ mit $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $R^{2} + R r + r^{2}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Da $R^{2}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $R^{2}$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (0 + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d r} [R r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Da $R$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $R r$ nach $r$ gleich $R \frac{d}{d r} [r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \cdot 1 + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $R$ mit $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $B^{3}$ und $\frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r R - r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $B^{3} (R r)$ und $B^{3} (- r R)$ neu an.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} R r + B^{3} r^{2} - B^{3} R r + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.1.2

Subtrahiere $B^{3} R r$ von $B^{3} R r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + 0 + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.1.3

Addiere $B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2}$ und $0$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r \cdot r}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.2.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.2.2.1

Bewege $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} (r \cdot r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.2.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Subtrahiere $2 B^{3} r^{2}$ von $B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.1

Faktorisiere $B^{3}$ aus $B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.1.1

Faktorisiere $B^{3}$ aus $B^{3} R^{2}$ heraus.

$\frac{B^{3} (R^{2}) - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Schritt 3.4.5.1.2

Faktorisiere $B^{3}$ aus $- B^{3} r^{2}$ heraus.

$\frac{B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Schritt 3.4.5.1.3

Faktorisiere $B^{3}$ aus $B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})$ heraus.

$\frac{B^{3} (R^{2} - r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Schritt 3.4.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = R$ und $b = r$ .

$\frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$P' = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $P'$ durch $\frac{d P}{d r}$ .

$\frac{d P}{d r} = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$