Analysis Beispiele

$s = 2 \cot (t + e^{- t})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (2 \cot (t + e^{- t}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 \cot (t + e^{- t})$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cot (t + e^{- t})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cot (t)$ und $g (t) = t + e^{- t}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $t + e^{- t}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cot (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$2 (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t + e^{- t}$ .

$2 (- \csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (\csc^{2} (t + e^{- t}) \frac{d}{d t} [t + e^{- t}])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + e^{- t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{- t}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - t$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- t$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- t$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 + e^{- t} \cdot - 1)$

Schritt 3.5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- t}$ .

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - 1 \cdot e^{- t})$

Schritt 3.5.3.3

Schreibe $- 1 e^{- t}$ als $- e^{- t}$ um.

$- 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$

Schritt 5

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = - 2 \csc^{2} (t + e^{- t}) (1 - e^{- t})$