Analysis Beispiele

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t^{4} + 25}$ als ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

Schritt 3

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ .

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = t^{4} + 25$ .

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Schritt 4.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{4} + 25$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.5

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.11

Addiere $4 t^{3}$ und $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.13

Kombiniere $4$ und $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.14

Kombiniere $\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $t^{3}$ .

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.15

Bringe ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.16

Faktorisiere $2$ aus $4 t^{3}$ heraus.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.17

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.17.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.17.3

Forme den Ausdruck um.

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.18

Kombiniere $10$ und $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.2.19

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $- 50$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 50$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$