Analysis Beispiele

$s = \sqrt{t} + 7 t^{2}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$s = t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2})$

Schritt 3

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Schritt 4.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Schritt 4.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Schritt 4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t^{2}$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 (2 t)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 14 t$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Schritt 4.4.3

Stelle die Terme um.

$14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$