Analysis Beispiele

$s = t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} + \frac{9}{t^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $s$ nach $t$ ist $s'$ .

$s'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + \frac{9}{t^{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{9}{t^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{t^{2}}$ nach $t$ gleich $9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{t^{2}}$ als ${(t^{2})}^{- 1}$ um.

$2 t + 9 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{2}$ .

$2 t + 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 t + 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{2}$ .

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t + 9 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 t + 9 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$2 t + 9 (- t^{- 4} (2 t))$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 t + 9 (- 2 t^{- 4} t)$

Schritt 3.2.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$2 t + 9 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Schritt 3.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 t + 9 (- 2 t^{1 - 4})$

Schritt 3.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$2 t + 9 (- 2 t^{- 3})$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$2 t - 18 t^{- 3}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 t - 18 \frac{1}{t^{3}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $- 18$ und $\frac{1}{t^{3}}$ .

$2 t + \frac{- 18}{t^{3}}$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 t - \frac{18}{t^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$s' = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $s'$ durch $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 2 t - \frac{18}{t^{3}}$