Analysis Beispiele

$r = 70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (r) = \frac{d}{d x} (70 (30 x - x^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $r$ nach $x$ ist $r'$ .

$r'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $70 (30 x - x^{\frac{3}{2}})$ nach $x$ gleich $70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d x} [30 x - x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 x - x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 3.3

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$70 (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$70 (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$70 (30 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$70 (30 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Schritt 3.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 3.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Schritt 3.11.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$70 (30 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$70 (30 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$70 \cdot 30 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.13.2.1

Mutltipliziere $70$ mit $30$ .

$2100 + 70 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.13.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $70$ .

$2100 - 70 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.13.2.3

Kombiniere $- 70$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$2100 + \frac{- 70 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 3.13.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 70$ .

$2100 + \frac{- 210 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.13.2.5

Faktorisiere $2$ aus $- 210 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 3.13.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 3.13.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2100 + \frac{2 (- 105 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.13.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$2100 + \frac{- 105 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 3.13.2.6.4

Dividiere $- 105 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$2100 - 105 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.13.3

Stelle die Terme um.

$- 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$r' = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$

Schritt 5

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - 105 x^{\frac{1}{2}} + 2100$