Analysis Beispiele

$v = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Entferne die Klammern.

$r' = \frac{1}{3} \cdot ((p r^{2}) h)$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$r' = \frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r'} r' = \frac{d}{d r'} (\frac{1}{3} \cdot (p r^{2} h))$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{r'}^{n}]$ gleich $n {r'}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kombiniere $p$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (r^{2} h)]$

Schritt 4.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{p}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p}{3} \cdot h]$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $\frac{r^{2} p}{3}$ und $h$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{r^{2} p h}{3}]$

Schritt 4.1.3

Da $\frac{p h}{3}$ konstant bezüglich $r'$ ist, ist die Ableitung von $\frac{r^{2} p h}{3}$ nach $r'$ gleich $\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$ .

$\frac{p h}{3} \frac{d}{d v} [r^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (r'))]$ ist $f' (g (r')) g' (r')$ , mit $f (r') = {r'}^{2}$ und $g (r') = r$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r$ .

$\frac{p h}{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d v} [r])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{p h}{3} (2 u \frac{d}{d v} [r])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $r$ .

$\frac{p h}{3} (2 r \frac{d}{d v} [r])$

Schritt 4.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{p h}{3}$ .

$\frac{2 (p h)}{3} (r \frac{d}{d v} [r])$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $r$ und $\frac{2 (p h)}{3}$ .

$\frac{r (2 (p h))}{3} \frac{d}{d v} [r]$

Schritt 4.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $r$ .

$\frac{2 \cdot r p h}{3} \frac{d}{d v} [r]$

Schritt 4.4

Schreibe $\frac{d}{d v} [r]$ als $r'$ um.

$\frac{2 r p h}{3} r'$

Schritt 4.5

Kombiniere $\frac{2 r p h}{3}$ und $r'$ .

$\frac{2 r p h r'}{3}$

Schritt 4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{2 h p r r'}{3}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{2 h p r r'}{3}$

Schritt 6

Löse nach $r'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 h p r r'}{3} = 1$ um.

$\frac{2 h p r r'}{3} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 h p r r'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 h p r r') = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 h p r r'$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (h p r r')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$h p r r' = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$h p r r' = \frac{3}{2}$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $h p r r' = \frac{3}{2}$ durch $h p r$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $h p r r' = \frac{3}{2}$ durch $h p r$ .

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h p r r'}{h p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Schritt 6.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p r r'}{p r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Schritt 6.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Schritt 6.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r r'}{r} = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Schritt 6.4.2.3.2

Dividiere $r'$ durch $1$ .

$r' = \frac{\frac{3}{2}}{h p r}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{h p r}$

Schritt 6.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{h p r}$ .

$r' = \frac{3}{2 h p r}$

Schritt 7

Ersetze $r'$ durch $\frac{d r}{d v}$ .

$\frac{d r}{d v} = \frac{3}{2 h p r}$