Analysis Beispiele

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

Schritt 2

Die Ableitung von $w$ nach $p$ ist $w'$ .

$w'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = \log_{8} (p)$ und $g (p) = 2^{p} - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2^{p} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\log_{8} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2^{p} - 1$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2^{p} - 1$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ gleich $a^{p} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

Schritt 3.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $2^{p} \ln (2)$ und $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

Schritt 3.4.2.2

Kombiniere $2^{p}$ und $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ .

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

Schritt 3.4.2.3

Kombiniere $\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ und $\ln (2)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

Schritt 3.5.2

Schreibe $- 1 \ln (8)$ als $- \ln (8)$ um.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Schritt 5

Ersetze $w'$ durch $\frac{d w}{d p}$ .

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$