Analysis Beispiele

$w = {(t^{7} + 1)}^{90}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (w) = \frac{d}{d t} ({(t^{7} + 1)}^{90})$

Schritt 2

Die Ableitung von $w$ nach $t$ ist $w'$ .

$w'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{90}$ und $g (t) = t^{7} + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{7} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{90}] \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 90$ .

$90 u^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{7} + 1$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} \frac{d}{d t} [t^{7} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{7} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (\frac{d}{d t} [t^{7}] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6} + 0)$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $7 t^{6}$ und $0$ .

$90 {(t^{7} + 1)}^{89} (7 t^{6})$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $90$ .

$630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$

Schritt 3.2.4.3

Stelle die Faktoren von $630 {(t^{7} + 1)}^{89} t^{6}$ um.

$630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$w' = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$

Schritt 5

Ersetze $w'$ durch $\frac{d w}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = 630 t^{6} {(t^{7} + 1)}^{89}$