Analysis Beispiele

$V = x (36 - x) (24 - 2 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} (x (36 - x) (24 - 2 x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $V$ nach $x$ ist $V'$ .

$V'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x (36 - x)$ und $g (x) = 24 - 2 x$ .

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (36 - x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Schritt 3.2.2

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (36 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Schritt 3.2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (36 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (36 - x) (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x (36 - x) \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x (36 - x)$ .

$- 2 \cdot (x (36 - x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 36 - x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [36 - x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $36 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.2

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \cdot - 1 + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 1 \cdot x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \cdot 1)$

Schritt 3.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $36 - x$ mit $1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + 36 - x)$

Schritt 3.4.8.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

Schritt 3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

Schritt 3.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.5.1

Mutltipliziere $36$ mit $- 2$ .

$- 72 x - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 72 x + 2 x \cdot x + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 72 x + 2 (x^{1} x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 72 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 72 x + 2 x^{1 + 1} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $24$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x \cdot x + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.12

Addiere $1$ und $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.13

Mutltipliziere $24$ mit $36$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 2 x \cdot 36$

Schritt 3.5.5.14

Mutltipliziere $36$ mit $- 2$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 72 x$

Schritt 3.5.5.15

Subtrahiere $72 x$ von $- 48 x$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 120 x + 4 x^{2} + 864$

Schritt 3.5.5.16

Subtrahiere $120 x$ von $- 72 x$ .

$2 x^{2} - 192 x + 4 x^{2} + 864$

Schritt 3.5.5.17

Addiere $2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 192 x + 864$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$V' = 6 x^{2} - 192 x + 864$

Schritt 5

Ersetze $V'$ durch $\frac{d V}{d x}$ .

$\frac{d V}{d x} = 6 x^{2} - 192 x + 864$