Analysis Beispiele

$v = \frac{1 + x - 4 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$v' = \frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Schritt 3

Die Ableitung von $v'$ nach $x$ ist $v''$ .

$v''$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}] - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere.

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Schritt 4.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.9

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.11

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16

Vereinfache.

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Schritt 4.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - (1 + x - 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 1 + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.16.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.16.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x + x (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x - x \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x - \frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x - (2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.16.3.1.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x)) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.5.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.16.3.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x - (2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + 1}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - (2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - (2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{x - (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x - (- 4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 - x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.16.3.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 0 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.2.2

Addiere $- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 4 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 4.16.3.3

Addiere $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ und $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$v'' = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $v'$ durch $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{2}}$