Analysis Beispiele

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $v'$ nach $x$ ist $v''$ .

$v''$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2}$ heraus.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ heraus.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4}$ heraus.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.10.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.10.4

Kombiniere $2$ und $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 2$ heraus.

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Schritt 3.11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.7

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $v'$ durch $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$