Analysis Beispiele

$u = \ln (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $u$ nach $x$ ist $u'$ .

$u'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3.10.2

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.11.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.1.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 3.11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 3.11.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Schritt 3.11.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.11.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$u' = \frac{1}{3 x}$

Schritt 5

Ersetze $u'$ durch $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d u}{d x} = \frac{1}{3 x}$