Analysis Beispiele

$\sin (27 x t) = t$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (27 x t)) = \frac{d}{d x} (t)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 27 x t$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $27 x t$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [27 x t]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [27 x t]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $27 x t$ .

$\cos (27 x t) \frac{d}{d x} [27 x t]$

Schritt 2.2

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 x t$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [x t]$ .

$\cos (27 x t) (27 \frac{d}{d x} [x t])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = t$ .

$\cos (27 x t) (27 (x \frac{d}{d x} [t] + t \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [t]$ als $t'$ um.

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t \cdot 1))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\cos (27 x t) (27 (x t' + t))$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (27 x t) (27 (x t') + 27 t)$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (27 x t) (27 (x t')) + \cos (27 x t) (27 t)$

Schritt 2.7.3

Stelle die Terme um.

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$

Schritt 3

Schreibe $\frac{d}{d x} [t]$ als $t'$ um.

$t'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t) = t'$

Schritt 5

Löse nach $t'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $27 x \cos (27 x t) t' + 27 t \cos (27 x t)$ um.

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) = t'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $t'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$27 x t' \cos (27 x t) + 27 t \cos (27 x t) - t' = 0$

Schritt 5.3

Subtrahiere $27 t \cos (27 x t)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$27 x t' \cos (27 x t) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $t'$ aus $27 x t' \cos (27 x t) - t'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $t'$ aus $27 x t' \cos (27 x t)$ heraus.

$t' (27 x \cos (27 x t)) - t' = - 27 t \cos (27 x t)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $t'$ aus $- t'$ heraus.

$t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1 = - 27 t \cos (27 x t)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $t'$ aus $t' (27 x \cos (27 x t)) + t' \cdot - 1$ heraus.

$t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ durch $27 x \cos (27 x t) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $t' (27 x \cos (27 x t) - 1) = - 27 t \cos (27 x t)$ durch $27 x \cos (27 x t) - 1$ .

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27 x \cos (27 x t) - 1$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' (27 x \cos (27 x t) - 1)}{27 x \cos (27 x t) - 1} = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $t'$ durch $1$ .

$t' = \frac{- 27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t' = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$

Schritt 6

Ersetze $t'$ durch $\frac{d t}{d x}$ .

$\frac{d t}{d x} = - \frac{27 t \cos (27 x t)}{27 x \cos (27 x t) - 1}$