Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{1 - 2 x^{3}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{1 - 2 x^{3}}$ als ${(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 1 - 2 x^{3}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(1 - 2 x^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(1 - 2 x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 - 2 x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 7.3

Bringe ${(1 - 2 x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{3}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}])$

Schritt 9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}])$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} (3 x^{2})$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Schritt 14.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 6}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}} x^{2}$

Schritt 14.4

Kombiniere $\frac{- 6}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 14.5

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{2}}{{(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{2}}{{(1 - 2 x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$