Analysis Beispiele

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} t^{3}$ nach $s$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{3}$ und $g (s) = t$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $t$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $t$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d s} [t]$ als $t'$ um.

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ und $t'$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.2.8.2

Dividiere $t^{2} t'$ durch $1$ .

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- 5 t^{2}$ nach $s$ gleich $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{2}$ und $g (s) = t$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t$ .

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d s} [t]$ als $t'$ um.

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d s} [16 t]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $16$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $16 t$ nach $s$ gleich $16 \frac{d}{d s} [t]$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{d}{d s} [t]$ als $t'$ um.

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.5.1

Da $8$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $s$ gleich $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ und $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Schritt 5

Löse nach $t'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ um.

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $t'$ aus $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $t'$ aus $t^{2} t'$ heraus.

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $t'$ aus $- 10 t t'$ heraus.

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $t'$ aus $16 t'$ heraus.

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $t'$ aus $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ heraus.

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $t'$ aus $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ heraus.

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $t^{2} - 10 t + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 8, - 2$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

Schritt 5.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ durch $(t - 8) (t - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ durch $(t - 8) (t - 2)$ .

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t - 8$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t - 2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $t'$ durch $1$ .

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Schritt 6

Ersetze $t'$ durch $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$