Analysis Beispiele

$q = \cos (\frac{t}{\sqrt{t + 4}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + 4}$ als ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$q = \cos (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d q} (q) = \frac{d}{d q} (\cos (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}))$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ ist $f' (g (q)) g' (q)$ , mit $f (q) = \cos (q)$ und $g (q) = \frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d q} [\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ gleich $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ist mit $f (q) = t$ und $g (q) = {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 4)}^{1}}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t] - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 4}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d q} [t]$ als $t'$ um.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t \frac{d}{d q} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 4}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ ist $f' (g (q)) g' (q)$ , mit $f (q) = q^{\frac{1}{2}}$ und $g (q) = t + 4$ .

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Schritt 4.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t + 4$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t + 4$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{{(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.11.3

Bringe ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - t (\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [t + 4])}{t + 4}$

Schritt 4.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $t$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [t + 4]}{t + 4}$

Schritt 4.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 4$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [t] + \frac{d}{d q} [4]$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d q} [t] + \frac{d}{d q} [4])}{t + 4}$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{d}{d q} [t]$ als $t'$ um.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (t' + \frac{d}{d q} [4])}{t + 4}$

Schritt 4.14

Da $4$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $q$ gleich $0$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (t' + 0)}{t + 4}$

Schritt 4.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.15.1

Addiere $t'$ und $0$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} t'}{t + 4}$

Schritt 4.15.2

Kombiniere $t'$ und $\frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 4}$

Schritt 4.15.3

Kombiniere $\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 4}$ und $\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16

Vereinfache.

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Schritt 4.16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.16.1.1

Faktorisiere $t'$ aus ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t' - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 4.16.1.1.1

Faktorisiere $t'$ aus ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}} t'$ heraus.

$- \frac{(t' {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.1.2

Faktorisiere $t'$ aus $- \frac{t' t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$- \frac{(t' {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + t' (- \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.1.3

Faktorisiere $t'$ aus $t' {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + t' (- \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$- \frac{t' ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.2

Um ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t' ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.3

Kombiniere ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t' (\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{t' \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5

Schreibe $\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.16.1.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.2

Multipliziere ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.16.1.5.2.1

Bewege ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{t' \frac{2 ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{2}{2}} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$- \frac{t' \frac{2 {(t + 4)}^{1} - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.3

Vereinfache $2 {(t + 4)}^{1}$ .

$- \frac{t' \frac{2 (t + 4) - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{t' \frac{2 t + 2 \cdot 4 - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{t' \frac{2 t + 8 - t}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.5.6

Subtrahiere $t$ von $2 t$ .

$- \frac{t' \frac{t + 8}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.16.1.6.1

Kombiniere $t'$ und $\frac{t + 8}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\frac{t' (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{t + 4}$

Schritt 4.16.1.6.2

Kombiniere $\frac{t' (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{\frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 4}$

Schritt 4.16.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.16.2.1

Schreibe $\frac{\frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 4}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 4})$

Schritt 4.16.2.2

Mutltipliziere $\frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{t + 4}$ .

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t + 4)}$

Schritt 4.16.2.3

Potenziere $t + 4$ mit $1$ .

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 ({(t + 4)}^{1} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.16.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.16.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.16.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.16.2.7

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.16.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{t' (t + 8) \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ um.

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $t'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 1$ um.

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.2.1

Dividiere $\frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ durch $1$ .

$\frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) t'}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ um.

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} = - 1$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten mit $2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache $\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.4.1.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} {(t + 4)}^{\frac{3}{2}} = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} {(t + 4)}^{\frac{3}{2}} = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} {(t + 4)}^{\frac{3}{2}} = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 6.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{3}{2}}} {(t + 4)}^{\frac{3}{2}} = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 8 = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.1.5

Bringe $8$ auf die linke Seite von $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + 8 \cdot (t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.2

Entferne die Klammern.

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.1.1.3.1

Stelle die Faktoren in $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ um.

$t' t \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.1.1.3.2

Stelle $t'$ und $t$ um.

$t t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - (2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$t t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.5

Löse nach $t'$ auf.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ aus $t t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

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Schritt 6.5.1.1

Faktorisiere $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ aus $t t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + 8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.5.1.2

Faktorisiere $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ aus $8 t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 8 = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.5.1.3

Faktorisiere $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}})$ aus $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) t + t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 8$ heraus.

$t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ durch $\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8) = - 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}$ durch $\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)$ .

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)} = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' \sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)} = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

Schritt 6.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t' (t + 8)}{t + 8} = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

Schritt 6.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 8$ .

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Schritt 6.5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' (t + 8)}{t + 8} = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

Schritt 6.5.2.2.3.2

Dividiere $t'$ durch $1$ .

$t' = \frac{- 2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t' = - \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$

Schritt 7

Ersetze $t'$ durch $\frac{d t}{d q}$ .

$\frac{d t}{d q} = - \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{3}{2}}}{\sin (\frac{t}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 8)}$