Analysis Beispiele

$s = t^{3} - 12 t$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (t^{3} - 12 t)$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} - 12 t$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$ .

$\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = s^{3}$ und $g (s) = t$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $t$ .

$3 t^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d s} [t]$ als $t'$ um.

$3 t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d s} [- 12 t]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- 12 t$ nach $s$ gleich $- 12 \frac{d}{d s} [t]$ .

$3 t^{2} t' - 12 \frac{d}{d s} [t]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d s} [t]$ als $t'$ um.

$3 t^{2} t' - 12 t'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 3 t^{2} t' - 12 t'$

Schritt 5

Löse nach $t'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $3 t^{2} t' - 12 t' = 1$ um.

$3 t^{2} t' - 12 t' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 t'$ aus $3 t^{2} t' - 12 t'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 t'$ aus $3 t^{2} t'$ heraus.

$3 t' t^{2} - 12 t' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 t'$ aus $- 12 t'$ heraus.

$3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4 = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 t'$ aus $3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4$ heraus.

$3 t' (t^{2} - 4) = 1$

Schritt 5.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$3 t' (t^{2} - 2^{2}) = 1$

Schritt 5.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 2$ .

$3 t' ((t + 2) (t - 2)) = 1$

Schritt 5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ durch $3 (t + 2) (t - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ durch $3 (t + 2) (t - 2)$ .

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 2$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t - 2$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $t'$ durch $1$ .

$t' = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

Schritt 6

Ersetze $t'$ durch $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$