Analysis Beispiele

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 3.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 3.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 3.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Stelle die Faktoren in $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ um.

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ durch $- \sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ durch $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Schritt 6.3.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

Schritt 6.3.3.2

Separiere Brüche.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 6.3.3.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

Schritt 6.3.3.4

Dividiere $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

Schritt 6.3.3.5

Kombiniere $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ und $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$