Analysis Beispiele

$\sin (x) = e^{y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\sin (x)) = \frac{d}{d y} (e^{y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\cos (x) x'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (x) x' = e^{y}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x) x' = e^{y}$ durch $\cos (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $\cos (x) x' = e^{y}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) x'}{\cos (x)} = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{e^{y}}{\cos (x)}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Separiere Brüche.

$x' = \frac{e^{y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$x' = \frac{e^{y}}{1} \sec (x)$

Schritt 5.3.3

Dividiere $e^{y}$ durch $1$ .

$x' = e^{y} \sec (x)$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = e^{y} \sec (x)$