Analysis Beispiele

$3 y^{2} + x = 27$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (3 y^{2} + x) = \frac{d}{d y} (27)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y^{2} + x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 y) + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 y + \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$6 y + x'$

Schritt 3

Da $27$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 y + x' = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x' = - 6 y$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 6 y$