Analysis Beispiele

$x y - e^{x y} = 7$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x y - e^{x y}) = \frac{d}{d y} (7)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y - e^{x y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x y}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x + y x' - \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$x + y x' - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x + y x' - (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$x + y x' - (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 2.3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y x'))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + y x' - e^{x y} (x + y x')$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + y x' - e^{x y} x - e^{x y} (y x')$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$

Schritt 3

Da $7$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$ um.

$y x' - x e^{x y} - y x' e^{x y} + x = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $x e^{x y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x' - y x' e^{x y} + x = x e^{x y}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y x'$ aus $y x' - y x' e^{x y}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y x'$ aus $y x'$ heraus.

$y x' \cdot 1 - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y x'$ aus $- y x' e^{x y}$ heraus.

$y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y x'$ aus $y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y})$ heraus.

$y x' (1 - 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Schritt 5.4

Schreibe $- 1 e^{x y}$ als $- e^{x y}$ um.

$y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ durch $y (1 - e^{x y})$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ durch $y (1 - e^{x y})$ .

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e^{x y}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$