Analysis Beispiele

$x \sin (3 x + 5 y) = y \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x \sin (3 x + 5 y)) = \frac{d}{d y} (y \cos (x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = \sin (3 x + 5 y)$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (3 x + 5 y)] + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = 3 x + 5 y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 5 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 5 y$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 5 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.5

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \frac{d}{d y} [y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \cdot 1)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.8

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) x'$

Schritt 2.9

Stelle die Terme um.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$y (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \cdot 1$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x)$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$- y \sin (x) x' + \cos (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$ .

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Schritt 5.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x') + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Schritt 5.1.1.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Schritt 5.1.1.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x \cos (3 x + 5 y)$ .

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 \cdot (x \cos (3 x + 5 y)) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Schritt 5.1.1.1.4

Entferne die Klammern.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Schritt 5.1.1.2

Stelle die Faktoren in $3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x'$ um.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $- y \sin (x) x' + \cos (x)$ um.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y x' \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 5.3

Addiere $y x' \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x)$

Schritt 5.4

Subtrahiere $5 x \cos (3 x + 5 y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x'$ aus $3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $x'$ aus $3 x x' \cos (3 x + 5 y)$ heraus.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $x'$ aus $x' \sin (3 x + 5 y)$ heraus.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $x'$ aus $y x' \sin (x)$ heraus.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Schritt 5.5.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y))$ heraus.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Schritt 5.5.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x))$ heraus.

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ durch $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ durch $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ .

$\frac{x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x))}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} - \frac{5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Schritt 5.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$