Analysis Beispiele

$x = \sqrt{125 - p^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{125 - p^{2}}$ als ${(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $x$ nach $p$ ist $x'$ .

$x'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ und $g (p) = 125 - p^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $125 - p^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $125 - p^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.6.3

Bringe ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

Schritt 4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $125 - p^{2}$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Schritt 4.8

Da $125$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $125$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

Schritt 4.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p^{2}]$

Schritt 4.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- p^{2}$ nach $p$ gleich $- \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p^{2}])$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 p))$

Schritt 4.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 p)$

Schritt 4.12.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} p$

Schritt 4.12.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $p$ .

$\frac{- 2 p}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.12.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 p$ heraus.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- p)}{2 ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x' = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$