Analysis Beispiele

$x = a \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d ?} (x) = \frac{d}{d ?} (a \cos^{3} (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $x$ nach $?$ ist $x'$ .

$x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $a$ konstant bezüglich $?$ ist, ist die Ableitung von $a \cos^{3} (x)$ nach $?$ gleich $a \frac{d}{d ?} [\cos^{3} (x)]$ .

$a \frac{d}{d ?} [\cos^{3} (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d ?} [f (g (?))]$ ist $f' (g (?)) g' (?)$ , mit $f (?) = ?^{3}$ und $g (?) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$a (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d ?} [\cos (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$a (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d ?} [\cos (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$a (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d ?} [\cos (x)])$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a$ .

$3 \cdot a \cos^{2} (x) \frac{d}{d ?} [\cos (x)]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d ?} [f (g (?))]$ ist $f' (g (?)) g' (?)$ , mit $f (?) = \cos (?)$ und $g (?) = x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$3 a \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d ?} [x])$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$3 a \cos^{2} (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d ?} [x])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$3 a \cos^{2} (x) (- \sin (x) \frac{d}{d ?} [x])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 a \cos^{2} (x) (\sin (x) \frac{d}{d ?} [x])$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d ?} [x]$ als $x'$ um.

$- 3 a \cos^{2} (x) \sin (x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x' = - 3 a \cos^{2} (x) \sin (x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- 3 a \cos^{2} (x) \sin (x) x'$ um.

$x' = - 3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 5.2

Addiere $3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x' + 3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' + 3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus ${x'}^{1}$ heraus.

$x' \cdot 1 + 3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x) = 0$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $3 a x' \cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$x' \cdot 1 + x' (3 a \cos^{2} (x) \sin (x)) = 0$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' \cdot 1 + x' (3 a \cos^{2} (x) \sin (x))$ heraus.

$x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)) = 0$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)) = 0$ durch $1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)) = 0$ durch $1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x))}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{0}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x))}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{0}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{0}{1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $1 + 3 a \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$x' = 0$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d ?}$ .

$\frac{d x}{d ?} = 0$