Analysis Beispiele

$w = 2 z^{2} e^{z}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d z} (w) = \frac{d}{d z} (2 z^{2} e^{z})$

Schritt 2

Die Ableitung von $w$ nach $z$ ist $w'$ .

$w'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $2 z^{2} e^{z}$ nach $z$ gleich $2 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = z^{2}$ und $g (z) = e^{z}$ .

$2 (z^{2} \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ gleich $a^{z} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (z^{2} e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z))$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (z^{2} e^{z}) + 2 (e^{z} (2 z))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 z^{2} e^{z} + 4 e^{z} z$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$2 e^{z} z^{2} + 4 e^{z} z$

Schritt 3.5.4

Stelle die Faktoren in $2 e^{z} z^{2} + 4 e^{z} z$ um.

$2 z^{2} e^{z} + 4 z e^{z}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$w' = 2 z^{2} e^{z} + 4 z e^{z}$

Schritt 5

Ersetze $w'$ durch $\frac{d w}{d z}$ .

$\frac{d w}{d z} = 2 z^{2} e^{z} + 4 z e^{z}$