Analysis Beispiele

$C = 0.001 x^{3} + 5 x + 250$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d C} (C) = \frac{d}{d C} (0.001 x^{3} + 5 x + 250)$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d C} [C^{n}]$ gleich $n C^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $0.001 x^{3} + 5 x + 250$ nach $C$ $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$ .

$\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d C} [0.001 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $0.001$ konstant bezüglich $C$ ist, ist die Ableitung von $0.001 x^{3}$ nach $C$ gleich $0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}]$ .

$0.001 \frac{d}{d C} [x^{3}] + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d C} [f (g (C))]$ ist $f' (g (C)) g' (C)$ , mit $f (C) = C^{3}$ und $g (C) = x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$0.001 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0.001 (3 u^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$0.001 (3 x^{2} \frac{d}{d C} [x]) + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d C} [x]$ als $x'$ um.

$0.001 (3 x^{2} x') + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $0.001$ .

$0.003 x^{2} x' + \frac{d}{d C} [5 x] + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d C} [5 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $C$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $C$ gleich $5 \frac{d}{d C} [x]$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 \frac{d}{d C} [x] + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d C} [x]$ als $x'$ um.

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + \frac{d}{d C} [250]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $250$ konstant bezüglich $C$ ist, ist die Ableitung von $250$ bezüglich $C$ gleich $0$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x' + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ und $0$ .

$0.003 x^{2} x' + 5 x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 0.003 x^{2} x' + 5 x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$ um.

$0.003 x^{2} x' + 5 x' = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $0.001 x'$ aus $0.003 x^{2} x' + 5 x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$0.003 x' x^{2} + 5 x' = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $0.001 x'$ aus $0.003 x' x^{2}$ heraus.

$0.001 x' (3 x^{2}) + 5 x' = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $0.001 x'$ aus $5 x'$ heraus.

$0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000 = 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $0.001 x'$ aus $0.001 x' (3 x^{2}) + 0.001 x' \cdot 5000$ heraus.

$0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ durch $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $0.001 x' (3 x^{2} + 5000) = 1$ durch $0.001 (3 x^{2} + 5000)$ .

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.001$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.001 x' (3 x^{2} + 5000)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} + 5000$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (3 x^{2} + 5000)}{3 x^{2} + 5000} = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $1$ als $1 (1)$ um.

$x' = \frac{1 (1)}{0.001 (3 x^{2} + 5000)}$

Schritt 5.3.3.2

Separiere Brüche.

$x' = \frac{1}{0.001} \cdot \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

Schritt 5.3.3.3

Dividiere $1$ durch $0.001$ .

$x' = 1000 \frac{1}{3 x^{2} + 5000}$

Schritt 5.3.3.4

Kombiniere $1000$ und $\frac{1}{3 x^{2} + 5000}$ .

$x' = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d C}$ .

$\frac{d x}{d C} = \frac{1000}{3 x^{2} + 5000}$