Analysis Beispiele

$x^{4} + t^{4} x + t^{6} - 3 = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (x^{4} + t^{4} x + t^{6} - 3) = \frac{d}{d t} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + t^{4} x + t^{6} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$4 x^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d t} [x]$ als $x'$ um.

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d t} [t^{4} x]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d t} [x]$ als $x'$ um.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 6 t^{5} + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.4.2

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 6 t^{5} + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 6 t^{5}$ und $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 6 t^{5}$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$6 t^{5} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 t^{5} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $6 t^{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = - 6 t^{5}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $4 t^{3} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x'$ aus $4 x^{3} x' + t^{4} x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x'$ aus $4 x^{3} x'$ heraus.

$x' (4 x^{3}) + t^{4} x' = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x'$ aus $t^{4} x'$ heraus.

$x' (4 x^{3}) + x' (t^{4}) = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (4 x^{3}) + x' (t^{4})$ heraus.

$x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$ durch $4 x^{3} + t^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 6 t^{5} - 4 t^{3} x$ durch $4 x^{3} + t^{4}$ .

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 6 t^{5}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x^{3} + t^{4}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 6 t^{5}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 6 t^{5}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- 6 t^{5} - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $2 t^{3}$ aus $- 6 t^{5} - 4 t^{3} x$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2 t^{3}$ aus $- 6 t^{5}$ heraus.

$x' = \frac{2 t^{3} (- 3 t^{2}) - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $2 t^{3}$ aus $- 4 t^{3} x$ heraus.

$x' = \frac{2 t^{3} (- 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $2 t^{3}$ aus $2 t^{3} (- 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 2 x)$ heraus.

$x' = \frac{2 t^{3} (- 3 t^{2} - 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 t^{2}$ heraus.

$x' = \frac{2 t^{3} (- (3 t^{2}) - 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$x' = \frac{2 t^{3} (- (3 t^{2}) - (2 x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 t^{2}) - (2 x)$ heraus.

$x' = \frac{2 t^{3} (- (3 t^{2} + 2 x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.6.1

Schreibe $- (3 t^{2} + 2 x)$ als $- 1 (3 t^{2} + 2 x)$ um.

$x' = \frac{2 t^{3} (- 1 (3 t^{2} + 2 x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{(2 t^{3}) (3 t^{2} + 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 5.3.3.6.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 t^{3}) (3 t^{2} + 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$ um.

$x' = - \frac{2 t^{3} (3 t^{2} + 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{2 t^{3} (3 t^{2} + 2 x)}{4 x^{3} + t^{4}}$