Analysis Beispiele

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x y y' + 3 y^{2}$

Schritt 3.8.3

Stelle die Terme um.

$3 y^{2} + 6 x y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $6 x y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 y y'$ aus $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3 y y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3 y y'$ aus $- 6 x y y'$ heraus.

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3 y y'$ aus $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ heraus.

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ durch $3 y (y - 2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ durch $3 y (y - 2 x)$ .

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2 x$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.4.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y (y - 2 x)$ heraus.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.2

Um $\frac{y}{y - 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y - 2 x) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{y - 2 x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(y - 2 x) y$ um.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.5.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

Schritt 5.4.3.5.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$