Analysis Beispiele

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $x$ nach $p$ ist $x'$ .

$x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $500$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ nach $p$ gleich $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ als $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ um.

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = p^{- 1}$ und $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $500$ .

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = \ln (p)$ und $g (p) = p^{2} + 1$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{p^{2} + 1}$ und $- 500$ .

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Schritt 3.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ und $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ .

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.2.2.1

Bringe $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Schritt 3.5.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

Schritt 3.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $p^{2} + 1$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

Schritt 3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

Schritt 3.5.5

Da $1$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

Schritt 3.5.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.6.1

Addiere $2 p$ und $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

Schritt 3.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Schritt 3.5.6.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Schritt 3.5.6.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $500$ .

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

Schritt 3.5.6.5

Kombiniere $\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ und $p$ .

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Schritt 3.5.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.6.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

Schritt 3.5.6.6.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ um.

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

Schritt 5

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$