Analysis Beispiele

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

Schritt 2

Die Ableitung von $V$ nach $r$ ist $V'$ .

$V'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $p$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $p r^{2} (2 p r - 24)$ nach $r$ gleich $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ .

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ gleich $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ ist mit $f (r) = r^{2}$ und $g (r) = 2 p r - 24$ .

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 p r - 24$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ .

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Schritt 3.3.2

Da $2 p$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $2 p r$ nach $r$ gleich $2 p \frac{d}{d r} [r]$ .

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Schritt 3.3.5

Da $- 24$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- 24$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $2 p$ und $0$ .

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Schritt 3.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

Schritt 3.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 p r - 24$ .

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.4.1

Potenziere $p$ mit $1$ .

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.2

Potenziere $p$ mit $1$ .

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $p^{2}$ .

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.7

Potenziere $r$ mit $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.8

Potenziere $r$ mit $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.11

Potenziere $p$ mit $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.12

Potenziere $p$ mit $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.14

Addiere $1$ und $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Schritt 3.4.4.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Schritt 3.4.4.16

Addiere $2 p^{2} r^{2}$ und $4 p^{2} r^{2}$ .

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Schritt 3.4.5

Stelle die Terme um.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Schritt 5

Ersetze $V'$ durch $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$