Analysis Beispiele

$x^{2} - x p + p^{3} = 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d p} (x^{2} - x p + p^{3}) = \frac{d}{d p} (8)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x p + p^{3}$ nach $p$ $\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$ .

$\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d p} [x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ ist $f' (g (p)) g' (p)$ , mit $f (p) = p^{2}$ und $g (p) = x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 x \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d p} [x]$ als $x'$ um.

$2 x x' + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d p} [- x p]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $- x p$ nach $p$ gleich $- \frac{d}{d p} [x p]$ .

$2 x x' - \frac{d}{d p} [x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ gleich $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ ist mit $f (p) = x$ und $g (p) = p$ .

$2 x x' - (x \frac{d}{d p} [p] + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x x' - (x \cdot 1 + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d p} [x]$ als $x'$ um.

$2 x x' - (x \cdot 1 + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x x' - (x + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ gleich $n p^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x x' - (x + p x') + 3 p^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x x' - x - (p x') + 3 p^{2}$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x x' - x - p x' + 3 p^{2}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $p$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $p$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 p^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x x' - p x' - x = - 3 p^{2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x x' - p x' = - 3 p^{2} + x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x'$ aus $2 x x' - p x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x'$ aus $2 x x'$ heraus.

$x' (2 x) - p x' = - 3 p^{2} + x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x'$ aus $- p x'$ heraus.

$x' (2 x) + x' (- p) = - 3 p^{2} + x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (2 x) + x' (- p)$ heraus.

$x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ durch $2 x - p$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ durch $2 x - p$ .

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - p$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- 3 p^{2} + x}{2 x - p}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 p^{2}$ heraus.

$x' = \frac{- (3 p^{2}) + x}{2 x - p}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$x' = \frac{- (3 p^{2}) - 1 (- x)}{2 x - p}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 p^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$x' = \frac{- (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.5.1

Schreibe $- (3 p^{2} - x)$ als $- 1 (3 p^{2} - x)$ um.

$x' = \frac{- 1 (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

Schritt 5.3.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$