Analysis Beispiele

$v = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$x' = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x'} x' = \frac{d}{d x'} (\frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3})))$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [{x'}^{n}]$ gleich $n {x'}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $p$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (2 a x^{2} - x^{3})]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{p}{3}$ konstant bezüglich $x'$ ist, ist die Ableitung von $\frac{p}{3} (2 a x^{2} - x^{3})$ nach $x'$ gleich $\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$

Schritt 4.1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 a x^{2} - x^{3}$ nach $x'$ $\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} (\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Schritt 4.1.4

Da $2 a$ konstant bezüglich $x'$ ist, ist die Ableitung von $2 a x^{2}$ nach $x'$ gleich $2 a \frac{d}{d v} [x^{2}]$ .

$\frac{p}{3} (2 a \frac{d}{d v} [x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ ist $f' (g (x')) g' (x')$ , mit $f (x') = {x'}^{2}$ und $g (x') = x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{p}{3} (2 a (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{p}{3} (2 a (2 u_{1} \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$\frac{p}{3} (2 a (2 x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{p}{3} (4 a (x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Schritt 4.4

Schreibe $\frac{d}{d v} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{p}{3} (4 a x x' + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Schritt 4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x'$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x'$ gleich $- \frac{d}{d v} [x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - \frac{d}{d v} [x^{3}])$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ ist $f' (g (x')) g' (x')$ , mit $f (x') = {x'}^{3}$ und $g (x') = x$ .

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Schritt 4.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d v} [x]))$

Schritt 4.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Schritt 4.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 (x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Schritt 4.8

Schreibe $\frac{d}{d v} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 x^{2} x')$

Schritt 4.9

Vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{p}{3} (4 a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Schritt 4.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.9.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{p}{3}$ .

$\frac{4 p}{3} (a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Schritt 4.9.2.2

Kombiniere $a$ und $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{a (4 p)}{3} (x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Schritt 4.9.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{a (4 p)}{3}$ .

$\frac{x (a (4 p))}{3} x' + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Schritt 4.9.2.4

Kombiniere $\frac{x (a (4 p))}{3}$ und $x'$ .

$\frac{x (a (4 p)) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Schritt 4.9.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{x (4 \cdot a p) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Schritt 4.9.2.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4 \cdot x a p x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Schritt 4.9.2.7

Kombiniere $- 3$ und $\frac{p}{3}$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{- 3 p}{3} (x^{2} x')$

Schritt 4.9.2.8

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{- 3 p}{3}$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p)}{3} x'$

Schritt 4.9.2.9

Kombiniere $\frac{x^{2} (- 3 p)}{3}$ und $x'$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p) x'}{3}$

Schritt 4.9.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.9.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $x^{2} (- 3 p) x'$ heraus.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3}$

Schritt 4.9.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 (1)}$

Schritt 4.9.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.9.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- p) x'}{1}$

Schritt 4.9.2.10.2.4

Dividiere $x^{2} (- p) x'$ durch $1$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + x^{2} (- p) x'$

Schritt 4.9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$ um.

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x p x'$ aus $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x p x'$ aus $\frac{4 x a p x'}{3}$ heraus.

$x p x' \frac{4 a}{3} - x^{2} p x' = 1$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x p x'$ aus $- x^{2} p x'$ heraus.

$x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x) = 1$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x p x'$ aus $x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x)$ heraus.

$x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ durch $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ durch $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ .

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Schritt 6.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Schritt 6.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Schritt 6.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{4 a}{3} - x$ .

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Schritt 6.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Schritt 6.3.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.3.1.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x \cdot \frac{3}{3})}$

Schritt 6.3.3.1.2

Kombiniere $- x$ und $\frac{3}{3}$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3})}$

Schritt 6.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - x \cdot 3}{3}}$

Schritt 6.3.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - 3 x}{3}}$

Schritt 6.3.3.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.3.3.1.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4 a - 3 x}{3}$ .

$x' = \frac{1}{p \frac{x (4 a - 3 x)}{3}}$

Schritt 6.3.3.1.5.2

Kombiniere $p$ und $\frac{x (4 a - 3 x)}{3}$ .

$x' = \frac{1}{\frac{p (x (4 a - 3 x))}{3}}$

Schritt 6.3.3.1.6

Entferne unnötige Klammern.

$x' = \frac{1}{\frac{p x (4 a - 3 x)}{3}}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x' = 1 \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

Schritt 6.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$ mit $1$ .

$x' = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d v}$ .

$\frac{d x}{d v} = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$