Analysis Beispiele

${(x^{2} + y^{2})}^{3} = 8 x^{2} y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} ({(x^{2} + y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d y} (8 x^{2} y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x x' + 2 y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{2} y^{2}$ nach $y$ gleich $8 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x^{2}$ und $g (y) = y^{2}$ .

$8 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$8 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$8 (2 x^{2} y + y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (2 x^{2} y + y^{2} (2 u \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$8 (2 x^{2} y + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$8 (2 x^{2} y + 2 \cdot y^{2} x \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$8 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x')$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (2 x^{2} y) + 8 (2 y^{2} x x')$

Schritt 3.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 (x^{2} y) + 8 (2 y^{2} x x')$

Schritt 3.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x x' + 2 y) = 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x x' + 2 y)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x x' + 2 y) = 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x x' + 2 y) = 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 x x') + 3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 y) = 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 5.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (x x') + 3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (2 y) = 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (x x') + 3 \cdot 2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} y = 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (x x') + 6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} y = 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 5.1.4.4

Stelle die Faktoren in $6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} (x x') + 6 {(x^{2} + y^{2})}^{2} y$ um.

$6 x x' {(x^{2} + y^{2})}^{2} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $16 y^{2} x x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x x' {(x^{2} + y^{2})}^{2} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ als $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ um.

$6 x x' ((x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.2

Multipliziere $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x x' (x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2})) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x x' (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2})) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x x' (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x x' (x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$6 x x' (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.3.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.3.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x x' (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.3.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$6 x x' (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.3.2

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $y^{2} x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.3.2.1

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

$6 x x' (x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.3.2.2

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $x^{2} y^{2}$ .

$6 x x' (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}) + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x x' x^{4} + 6 x x' (2 x^{2} y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.5.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x) x' + 6 x x' (2 x^{2} y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.5.1.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.2.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 (x^{4} x^{1}) x' + 6 x x' (2 x^{2} y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{4 + 1} x' + 6 x x' (2 x^{2} y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.5.1.3

Addiere $4$ und $1$ .

$6 x^{5} x' + 6 x x' (2 x^{2} y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x^{5} x' + 6 (x^{2} x) x' (2 y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.5.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.2.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{5} x' + 6 (x^{2} x^{1}) x' (2 y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{5} x' + 6 x^{2 + 1} x' (2 y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.5.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$6 x^{5} x' + 6 x^{3} x' (2 y^{2}) + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.7

Schreibe ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ als $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ um.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y ((x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.8

Multipliziere $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{2} (x^{2} + y^{2}) + y^{2} (x^{2} + y^{2})) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} (x^{2} + y^{2})) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.9.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.9.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.9.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.9.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.9.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{2 + 2}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.9.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.9.2

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $y^{2} x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.9.2.1

Stelle $y^{2}$ und $x^{2}$ um.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{4}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.9.2.2

Addiere $x^{2} y^{2}$ und $x^{2} y^{2}$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.10

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 y (2 x^{2} y^{2}) + 6 y \cdot y^{4} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.11

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.11.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.11.1.1

Bewege $y^{2}$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 (y^{2} y) (2 x^{2}) + 6 y \cdot y^{4} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.11.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.2.2.11.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 (y^{2} y^{1}) (2 x^{2}) + 6 y \cdot y^{4} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 y^{2 + 1} (2 x^{2}) + 6 y \cdot y^{4} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.11.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 y^{3} (2 x^{2}) + 6 y \cdot y^{4} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.11.2

Multipliziere $y$ mit $y^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.11.2.1

Bewege $y^{4}$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 y^{3} (2 x^{2}) + 6 (y^{4} y) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.11.2.2

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $y$ .

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Schritt 5.2.2.11.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 y^{3} (2 x^{2}) + 6 (y^{4} y^{1}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 y^{3} (2 x^{2}) + 6 y^{4 + 1} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.11.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 y^{3} (2 x^{2}) + 6 y^{5} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.12.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 6 \cdot 2 y^{3} x^{2} + 6 y^{5} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.2.2.12.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y x^{4} + 12 y^{3} x^{2} + 6 y^{5} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $6 y x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 12 y^{3} x^{2} + 6 y^{5} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y - 6 y x^{4}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $12 y^{3} x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} + 6 y^{5} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2}$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $6 y^{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2 x x'$ aus $6 x^{5} x' + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} - 16 y^{2} x x'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2 x x'$ aus $6 x^{5} x'$ heraus.

$2 x x' (3 x^{4}) + 12 x^{3} x' y^{2} + 6 x x' y^{4} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2 x x'$ aus $12 x^{3} x' y^{2}$ heraus.

$2 x x' (3 x^{4}) + 2 x x' (6 x^{2} y^{2}) + 6 x x' y^{4} - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2 x x'$ aus $6 x x' y^{4}$ heraus.

$2 x x' (3 x^{4}) + 2 x x' (6 x^{2} y^{2}) + 2 x x' (3 y^{4}) - 16 y^{2} x x' = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $2 x x'$ aus $- 16 y^{2} x x'$ heraus.

$2 x x' (3 x^{4}) + 2 x x' (6 x^{2} y^{2}) + 2 x x' (3 y^{4}) + 2 x x' (- 8 y^{2}) = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2 x x'$ aus $2 x x' (3 x^{4}) + 2 x x' (6 x^{2} y^{2})$ heraus.

$2 x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2}) + 2 x x' (3 y^{4}) + 2 x x' (- 8 y^{2}) = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$

Schritt 5.4.6

Faktorisiere $2 x x'$ aus $2 x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2}) + 2 x x' (3 y^{4})$ heraus.

$2 x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4}) + 2 x x' (- 8 y^{2}) = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$

Schritt 5.4.7

Faktorisiere $2 x x'$ aus $2 x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4}) + 2 x x' (- 8 y^{2})$ heraus.

$2 x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}) = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}) = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$ durch $2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}) = 16 x^{2} y - 6 y x^{4} - 12 y^{3} x^{2} - 6 y^{5}$ durch $2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})$ .

$\frac{2 x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} = \frac{16 x^{2} y}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} = \frac{16 x^{2} y}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} = \frac{16 x^{2} y}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{16 x^{2} y}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16 x^{2} y$ heraus.

$x' = \frac{2 (8 x^{2} y)}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})$ heraus.

$x' = \frac{2 (8 x^{2} y)}{2 (x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}))} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x^{2} y}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $8 x^{2} y$ heraus.

$x' = \frac{x (8 x y)}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 6 y x^{4}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 y x^{4}$ heraus.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{2 (- 3 y x^{4})}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})$ heraus.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{2 (- 3 y x^{4})}{2 (x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}))} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 3 y x^{4}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 y x^{4}$ heraus.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{x (- 3 y x^{3})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.3.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 12 y^{3} x^{2}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12 y^{3} x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{2 (- 6 y^{3} x^{2})}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})$ heraus.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{2 (- 6 y^{3} x^{2})}{2 (x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}))} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 6 y^{3} x^{2}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.5.3.1.7.1

Faktorisiere $x$ aus $- 6 y^{3} x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{x (- 6 y^{3} x)}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.3.1.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 6 y^{5}}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 y^{5}$ heraus.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{2 (- 3 y^{5})}{2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})$ heraus.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{2 (- 3 y^{5})}{2 (x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}))}$

Schritt 5.5.3.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{2 (- 3 y^{5})}{2 (x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}))}$

Schritt 5.5.3.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} + \frac{- 3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{8 x y}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{8 x y - 3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.2

Faktorisiere $x y$ aus $8 x y - 3 y x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.2.2.1

Faktorisiere $x y$ aus $8 x y$ heraus.

$x' = \frac{x y (8) - 3 y x^{3}}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.2.2

Faktorisiere $x y$ aus $- 3 y x^{3}$ heraus.

$x' = \frac{x y (8) + x y (- 3 x^{2})}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.2.3

Faktorisiere $x y$ aus $x y (8) + x y (- 3 x^{2})$ heraus.

$x' = \frac{x y (8 - 3 x^{2})}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{x y (8 - 3 x^{2}) - 6 y^{3} x}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.4

Faktorisiere $x y$ aus $x y (8 - 3 x^{2}) - 6 y^{3} x$ heraus.

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Schritt 5.5.3.2.4.1

Faktorisiere $x y$ aus $- 6 y^{3} x$ heraus.

$x' = \frac{x y (8 - 3 x^{2}) + x y (- 6 y^{2})}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.4.2

Faktorisiere $x y$ aus $x y (8 - 3 x^{2}) + x y (- 6 y^{2})$ heraus.

$x' = \frac{x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2})}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.3

Um $\frac{x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2})}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2})}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2})}{3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2}) x}{(3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}) x} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.4.2

Stelle die Faktoren von $(3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2}) x$ um.

$x' = \frac{x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2}) x}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})} - \frac{3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2}) x - 3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2}) x - 3 y^{5}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.6.1.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2}) x$ heraus.

$x' = \frac{y ((x (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2})) x) - 3 y^{5}}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y^{5}$ heraus.

$x' = \frac{y ((x (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2})) x) + y (- 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y ((x (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2})) x) + y (- 3 y^{4})$ heraus.

$x' = \frac{y ((x (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2})) x - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.6.2.1

Bewege $x$ .

$x' = \frac{y (x \cdot x (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2}) - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x' = \frac{y (x^{2} (8 - 3 x^{2} - 6 y^{2}) - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = \frac{y (x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (- 6 y^{2}) - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.4

Vereinfache.

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Schritt 5.5.3.6.4.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x' = \frac{y (8 \cdot x^{2} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (- 6 y^{2}) - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x' = \frac{y (8 \cdot x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 6 y^{2}) - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x' = \frac{y (8 \cdot x^{2} - 3 x^{2} x^{2} - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.6.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$x' = \frac{y (8 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x' = \frac{y (8 x^{2} - 3 x^{2 + 2} - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x' = \frac{y (8 x^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (8 x^{2} - 3 x^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 3 y^{4})}{x (3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} - 8 y^{2})}$