Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 9}$ als ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))$

Schritt 1.1.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 1.1.11

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Schritt 1.1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Schritt 1.1.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $1$ und $9$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{10^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 1) = - \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $1$ und $9$ .

$f' (1) = \frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{1}{10^{\frac{1}{2}}}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 8