Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 64$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 64) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 64$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 64$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + \frac{d}{d x} (64))}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - x (2 x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 64 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 64}{{(x^{2} + 64)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{({(x^{2} + 64)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 64)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 64) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 64$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (64)) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.6

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.7

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 64)}^{2}}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 64$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 64) (2 (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) \frac{d}{d x} (x^{2} + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 64$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (64)))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x + \frac{d}{d x} (64)))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) (2 x))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 64$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 64) (2 \cdot ((x^{2} + 64) x))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 64) ((x^{2} + 64) x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) ((x^{2} + 64) x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 64)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 64)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} + 64)}^{2}$ als $(x^{2} + 64) (x^{2} + 64)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 64) (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} + 64) (x^{2} + 64)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 64) + 64 (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 64 + 64 (x^{2} + 64)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 64 + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Bringe $64$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 64 \cdot x^{2} + 64 x^{2} + 64 \cdot 64) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $64$ mit $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 64 x^{2} + 64 x^{2} + 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.2

Addiere $64 x^{2}$ und $64 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 128 x^{2} + 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (128 x^{2}) - 2 \cdot 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $128$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 256 x^{2} - 2 \cdot 4096) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4096$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 256 x^{2} - 8192) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{2} x - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 (x \cdot x^{2}) - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{1 + 2} - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 64) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2} x + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{2 + 1} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + (4 x^{2} - 256) (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11

Multipliziere $(4 x^{2} - 256) (x^{3} + 64 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} (x^{3} + 64 x) - 256 (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (64 x) - 256 (x^{3} + 64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (64 x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{2} x) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 (x \cdot x^{2})) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{1 + 2}) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (64 x^{3}) - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 256 (64 x)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Mutltipliziere $64$ mit $- 256$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 256 x^{3} - 256 x^{3} - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.2

Subtrahiere $256 x^{3}$ von $256 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} + 0 - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.3

Addiere $4 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x + 4 x^{5} - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.2

Addiere $- 2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 256 x^{3} - 8192 x - 16384 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.3

Subtrahiere $16384 x$ von $- 8192 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 256 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5} - 256 x^{3} - 24576 x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 256 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 256 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2}) - 24576 x}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 24576 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4}) + 2 x (- 128 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4} - 128 x^{2}) + 2 x (- 12288)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 128 x^{2} - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 128 x^{2} - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 128 u - 12288)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} - 128 u - 12288$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12288$ und deren Summe $- 128$ ist.

$- 192, 64$

Schritt 1.1.2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 192) (u + 64))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 192) (x^{2} + 64)}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + 64$ und ${(x^{2} + 64)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.5.1

Faktorisiere $x^{2} + 64$ aus $2 x (x^{2} - 192) (x^{2} + 64)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{{(x^{2} + 64)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 64$ aus ${(x^{2} + 64)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{(x^{2} + 64) {(x^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 64) (2 x (x^{2} - 192))}{(x^{2} + 64) {(x^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 1.1.2.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 192)}{{(x^{2} + 64)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} - 192) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 192 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x^{2} - 192$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x^{2} - 192$ gleich $0$ .

$x^{2} - 192 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse $x^{2} - 192 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Addiere $192$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 192$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{192}$

Schritt 1.2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{192}$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.3.1

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \pm \sqrt{64 (3)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.1.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 8 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8 \sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} - 192) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 8 \sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 64}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{2} + 64}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 64 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 64$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 64}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 64}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (64)}$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$

Schritt 2.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{64}$

Schritt 2.2.3.4

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}$

Schritt 2.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 8$

Schritt 2.2.3.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 8 i$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8 i$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8 i$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8 i, - 8 i$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 8 \sqrt{3}) \cup (- 8 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 8 \sqrt{3}) \cup (8 \sqrt{3}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 16$ .

$f'' (- 16) = \frac{2 (- 16) ({(- 16)}^{2} - 192)}{{({(- 16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{{({(- 16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{{(256 + 64)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $256$ und $64$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{320^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $320$ mit $3$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 ({(- 16)}^{2} - 192)}{32768000}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 (256 - 192)}{32768000}$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $192$ von $256$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 32 \cdot 64}{32768000}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $64$ .

$f'' (- 16) = \frac{- 2048}{32768000}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2048$ und $32768000$ .

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $2048$ aus $- 2048$ heraus.

$f'' (- 16) = \frac{2048 (- 1)}{32768000}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2048$ aus $32768000$ heraus.

$f'' (- 16) = \frac{2048 \cdot - 1}{2048 \cdot 16000}$

Schritt 4.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 16) = \frac{2048 \cdot - 1}{2048 \cdot 16000}$

Schritt 4.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 16) = \frac{- 1}{16000}$

Schritt 4.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 16) = - \frac{1}{16000}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{16000}$ .

$- \frac{1}{16000}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ konkav, weil $f'' (- 16)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 192)}{{({(- 2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{{({(- 2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{{(4 + 64)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $4$ und $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{68^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $68$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} - 192)}{314432}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 - 192)}{314432}$

Schritt 5.2.3.2

Subtrahiere $192$ von $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot - 188}{314432}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 188$ .

$f'' (- 2) = \frac{752}{314432}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $752$ und $314432$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $752$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{16 (47)}{314432}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $314432$ heraus.

$f'' (- 2) = \frac{16 \cdot 47}{16 \cdot 19652}$

Schritt 5.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 2) = \frac{16 \cdot 47}{16 \cdot 19652}$

Schritt 5.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 2) = \frac{47}{19652}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{47}{19652}$ .

$\frac{47}{19652}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 8 \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} - 192)}{{({(2)}^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{{(2^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{{(4 + 64)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $4$ und $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{68^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $68$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} - 192)}{314432}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (4 - 192)}{314432}$

Schritt 6.2.3.2

Subtrahiere $192$ von $4$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot - 188}{314432}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 188$ .

$f'' (2) = \frac{- 752}{314432}$

Schritt 6.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 752$ und $314432$ .

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Schritt 6.2.4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 752$ heraus.

$f'' (2) = \frac{16 (- 47)}{314432}$

Schritt 6.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.4.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $314432$ heraus.

$f'' (2) = \frac{16 \cdot - 47}{16 \cdot 19652}$

Schritt 6.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (2) = \frac{16 \cdot - 47}{16 \cdot 19652}$

Schritt 6.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (2) = \frac{- 47}{19652}$

Schritt 6.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2) = - \frac{47}{19652}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{47}{19652}$ .

$- \frac{47}{19652}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 8 \sqrt{3})$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 8 \sqrt{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(8 \sqrt{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $16$ .

$f'' (16) = \frac{2 (16) ({(16)}^{2} - 192)}{{({(16)}^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{{(16^{2} + 64)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{{(256 + 64)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $256$ und $64$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{320^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $320$ mit $3$ .

$f'' (16) = \frac{32 (16^{2} - 192)}{32768000}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$f'' (16) = \frac{32 (256 - 192)}{32768000}$

Schritt 7.2.3.2

Subtrahiere $192$ von $256$ .

$f'' (16) = \frac{32 \cdot 64}{32768000}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $32$ mit $64$ .

$f'' (16) = \frac{2048}{32768000}$

Schritt 7.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2048$ und $32768000$ .

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Schritt 7.2.4.2.1

Faktorisiere $2048$ aus $2048$ heraus.

$f'' (16) = \frac{2048 (1)}{32768000}$

Schritt 7.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2048$ aus $32768000$ heraus.

$f'' (16) = \frac{2048 \cdot 1}{2048 \cdot 16000}$

Schritt 7.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (16) = \frac{2048 \cdot 1}{2048 \cdot 16000}$

Schritt 7.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (16) = \frac{1}{16000}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{16000}$ .

$\frac{1}{16000}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(8 \sqrt{3}, \infty)$ konvex, weil $f'' (16)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(8 \sqrt{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 8 \sqrt{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 8 \sqrt{3}, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, 8 \sqrt{3})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(8 \sqrt{3}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9